Nach dem zuvor beschriebenen Prinzip der Hypothesentests gibt es verschiedene Tests, die auf unterschiedliche Fragestellungen zugeschnitten sind. In diesem Abschnitt werden einige dieser Tests vorgestellt.
Wir werden uns hier auf einige typische Tests konzentrieren. Es gibt noch viele weitere Tests, die auf spezielle Fragestellungen zugeschnitten sind. Die hier vorgestellten Tests gehören jedoch zu den wichtigsten und werden in der Praxis häufig verwendet.
Der t-Test ist eine Klasse von statistischen Tests, die verwendet werden, um Hypothesen über den Mittelwert (oder die Differenz von Mittelwerten) einer oder zweier Stichproben zu prüfen, insbesondere wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt werden muss.
Beim Einstichproben-t-Test wird der Mittelwert einer Stichprobe mit einem vorgegebenen, hypothetischen Wert (\(\mu_0\)) verglichen. Der Test wird typischerweise verwendet, wenn die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt wird. Die t-Verteilung berücksichtigt die zusätzliche Unsicherheit, die durch diese Schätzung entsteht.
Wir legen zunächst den Typ-I-Fehler (Signifikanzniveau \(\alpha\)) fest. Damit definieren wir die maximale Wahrscheinlichkeit, die wir zu akzeptieren bereit sind, die Nullhypothese (\(H_0\)) fälschlicherweise abzulehnen, obwohl sie wahr ist (\(P(\text{Ablehnung } H_0 | H_0 \text{ ist wahr}) \leq \alpha\)).
Um zu beurteilen, wie wahrscheinlich die beobachtete Stichprobe unter der Annahme ist, dass die Nullhypothese wahr ist, wird die Teststatistik \(t\) berechnet. Diese misst den Unterschied zwischen dem Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) und dem hypothetischen Wert \(\mu_0\) in Einheiten des Standardfehlers des Mittelwerts. Wörtlich bedeutet die Teststatistik: Um wie viele Standardfehler weicht der Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) vom vorgegebenen Wert \(\mu_0\) ab?
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \]
wobei \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert, \(s\) die Stichprobenstandardabweichung (oft wird die korrigierte Stichprobenstandardabweichung verwendet) und \(n\) die Stichprobengröße ist.
Unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist und die Daten aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen, folgt die Teststatistik \(t\) einer t-Verteilung mit \(n-1\) Freiheitsgraden.
Die Entscheidung über die Ablehnung der Nullhypothese hängt von der Alternativhypothese (\(H_1\)) ab:
Der kritische Wert \(t_{\text{krit}}\) (z.B. \(t_{1-\alpha, n-1}\) oder \(t_{1-\alpha/2, n-1}\)) wird aus der Tabelle der t-Verteilung oder mittels Software bestimmt.
Eine Brauerei bezieht eine neue Charge Gerste. Für den Brauprozess ist es wichtig, dass der mittlere Eiweißgehalt der Gerste einen bestimmten Grenzwert nicht überschreitet, da ein zu hoher Eiweißgehalt zu unerwünscht starkem Schäumen des Bieres führen kann. Der maximal akzeptable mittlere Eiweißgehalt liegt laut Spezifikation bei \(\mu_0 = 11.5\%\).
Die Brauerei möchte prüfen, ob die neue Charge Gerste diese Spezifikation einhält oder ob der mittlere Eiweißgehalt signifikant höher ist. Dazu wird eine Stichprobe von \(n=50\) Körnern aus der Charge entnommen und deren Eiweißgehalt analysiert.
import numpy as np
from scipy.stats import t as t_dist, norm
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# Annahmen für die Simulation (wären in der Realität unbekannt)
# Nehmen wir an, die Charge ist tatsächlich leicht über dem Limit
true_mu_barley = 11.8 # Tatsächlicher mittlerer Eiweißgehalt der Charge (%)
true_sigma_barley = 0.5 # Tatsächliche Standardabweichung des Eiweißgehalts (%)
# Nullhypothese (Grenzwert)
mu_0_barley = 11.5
# Stichprobe ziehen
n_barley = 50
# Setze einen Seed für Reproduzierbarkeit
np.random.seed(2024)
X_barley = np.random.normal(true_mu_barley, true_sigma_barley, n_barley)
# Schätzer aus der Stichprobe berechnen
x_bar_barley = np.mean(X_barley)
s_barley = np.std(X_barley, ddof=1) # Korrigierte Stichprobenstandardabweichung
print(f"Stichprobenmittelwert (x̄): {x_bar_barley:.2f}%")
print(f"Stichprobenstandardabweichung (s): {s_barley:.2f}%")
print(f"Stichprobengröße (n): {n_barley}")
# Plot der Stichprobendaten und der Nullhypothese
plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.histplot(X_barley, bins=8, kde=False, alpha=0.6, label='Stichprobe Eiweißgehalt', color='darkorange', edgecolor='black')
plt.axvline(mu_0_barley, color='red', linestyle='--', linewidth=2, label=f'Grenzwert H₀: μ ≤ {mu_0_barley}%')
plt.axvline(x_bar_barley, color='blue', linestyle='-', linewidth=2, label=f'Stichprobenmittelwert x̄ = {x_bar_barley:.2f}%')
plt.title('Verteilung des Eiweißgehalts der Gerstenprobe und Grenzwert')
plt.xlabel('Eiweißgehalt (%)')
plt.ylabel('Häufigkeit')
plt.legend()
plt.grid(axis='y', alpha=0.5)
plt.show()Stichprobenmittelwert (x̄): 11.80%
Stichprobenstandardabweichung (s): 0.48%
Stichprobengröße (n): 50
Durchführung des Hypothesentests:
Definition der Hypothesen:
Definition des Signifikanzniveaus:
Berechnung der Teststatistik \(t\):
# Berechnung der Teststatistik für Gerste
standard_error_barley = s_barley / np.sqrt(n_barley)
t_statistic_barley = (x_bar_barley - mu_0_barley) / standard_error_barley
print(f'Standardfehler (s/√n): {standard_error_barley:.4f}')
print(f'Teststatistik (t): {t_statistic_barley:.3f}')Standardfehler (s/√n): 0.0685
Teststatistik (t): 4.381Bestimmung des kritischen Wertes \(t_{\text{krit}}\):
from scipy.stats import t as t_dist
alpha_barley = 0.05
df_barley = n_barley - 1 # Freiheitsgrade
t_critical_barley = t_dist.ppf(1 - alpha_barley, df_barley)
print(f'Freiheitsgrade (df): {df_barley}')
print(f'Kritischer Wert (t_krit) für α={alpha_barley} (einseitig): {t_critical_barley:.3f}')Freiheitsgrade (df): 49
Kritischer Wert (t_krit) für α=0.05 (einseitig): 1.677Die Visualisierung der t-Verteilung mit dem Ablehnungsbereich hilft, die Entscheidung zu verstehen:
x_t_barley = np.linspace(t_dist.ppf(0.0001, df_barley), t_dist.ppf(0.9999, df_barley), 500)
y_t_barley = t_dist.pdf(x_t_barley, df_barley)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_t_barley, y_t_barley, label=f't-Verteilung (df={df_barley})')
plt.fill_between(x_t_barley, 0, y_t_barley, where=(x_t_barley > t_critical_barley), color='red', alpha=0.5, label=f'Ablehnungsbereich (α={alpha_barley})')
plt.axvline(t_statistic_barley, color='black', linestyle='--', label=f'Teststatistik t = {t_statistic_barley:.3f}')
plt.title('t-Verteilung, kritischer Wert und Teststatistik (Gersten-Eiweißgehalt)')
plt.xlabel('t-Wert')
plt.ylabel('Dichte')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.5)
plt.show()
Zur Erinnerung: Die t-Verteilung beim Testen
Die t-Verteilung beschreibt, wie sich die Teststatistik \(T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}\) verteilen würde, wenn die Nullhypothese (\(H_0: \mu = \mu_0\)) wahr wäre und die Daten aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Wir vergleichen unseren aus der Stichprobe berechneten Wert \(t\) mit dieser theoretischen Verteilung, um zu sehen, ob er ein plausibler Wert unter \(H_0\) ist oder eher ein extremer, unwahrscheinlicher Wert, der gegen \(H_0\) spricht.
Entscheidung:
Wir vergleichen die Teststatistik \(t\) mit dem kritischen Wert \(t_{\text{krit}}\). Regel: Lehne \(H_0\) ab, wenn \(t > t_{\text{krit}}\).
Da \(t \approx 4.011 > 1.677 \approx t_{\text{krit}}\), lehnen wir die Nullhypothese \(H_0\) ab.
Interpretation: Das Ergebnis ist statistisch signifikant auf dem 5%-Niveau. Es gibt ausreichende Evidenz aus der Stichprobe, um zu schlussfolgern, dass der mittlere Eiweißgehalt dieser Gerstencharge signifikant über dem Grenzwert von 11.5% liegt. Die Brauerei sollte diese Charge möglicherweise nicht verwenden oder entsprechend behandeln, um Probleme mit dem Schaum zu vermeiden.
p-Wert: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, unter \(H_0\) eine Teststatistik zu beobachten, die mindestens so extrem ist wie \(t \approx 4.011\).
p_value_barley = 1 - t_dist.cdf(t_statistic_barley, df_barley)
print(f'p-Wert: {p_value_barley:.3e}') # Formatierung in wissenschaftlicher Notation
# Vergleich mit alpha
if p_value_barley < alpha_barley:
print(f"Da p-Wert ({p_value_barley:.3e}) < α ({alpha_barley}), wird H₀ abgelehnt.")
else:
print(f"Da p-Wert ({p_value_barley:.3e}) >= α ({alpha_barley}), wird H₀ nicht abgelehnt.")p-Wert: 3.110e-05
Da p-Wert (3.110e-05) < α (0.05), wird H₀ abgelehnt.Konsequenz der Testentscheidung
In diesem Beispiel führt die Ablehnung der Nullhypothese zu der Schlussfolgerung, dass der Eiweißgehalt wahrscheinlich zu hoch ist. Dies hat praktische Konsequenzen für die Brauerei (z.B. Ablehnung der Charge, Anpassung des Brauprozesses). Wäre die Nullhypothese nicht abgelehnt worden (\(t \leq t_{krit}\) oder \(p > \alpha\)), hätte die Brauerei keinen statistischen Grund gehabt, die Charge aufgrund des Eiweißgehalts abzulehnen (basierend auf dieser Stichprobe und dem gewählten Signifikanzniveau).
Der p-Wert
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese (\(H_0\)), ein Ergebnis zu erhalten, das mindestens so extrem ist wie das in der Stichprobe beobachtete Ergebnis (repräsentiert durch die Teststatistik).
Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass \(H_0\) wahr ist.
Eine Brauerei prüft, ob der Eiweißgehalt einer neuen Gerstencharge im optimalen Bereich von 10.5% liegt. Ein zu hoher oder zu niedriger Eiweißgehalt kann die Bierqualität beeinträchtigen. Führen Sie einen zweiseitigen t-Test durch, um zu testen, ob der mittlere Eiweißgehalt der Charge signifikant von 10.5% abweicht. Verwenden Sie eine Stichprobe von \(n=50\) Körnern mit den folgenden Daten:
Hypothesen:
Entscheidungsregel:
Berechnen Sie die Teststatistik \(t\), den kritischen Wert \(t_{\text{krit}}\) und den p-Wert. Entscheiden Sie, ob \(H_0\) abgelehnt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis.
Schritt 1: Gegebene Werte
Schritt 2: Teststatistik berechnen Die Formel für die Teststatistik ist:
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
Standardfehler: \(s / \sqrt{n} = 0.49 / \sqrt{50} \approx 0.0693\)
Teststatistik:
\[ t = \frac{10.47 - 10.5}{0.0693} \approx -0.433 \]
import numpy as np
x_bar = 10.47
s = 0.49
n = 50
mu_0 = 10.5
standard_error = s / np.sqrt(n)
t_statistic = (x_bar - mu_0) / standard_error
print(f"Standardfehler: {standard_error:.4f}")
print(f"Teststatistik t: {t_statistic:.3f}")Standardfehler: 0.0693
Teststatistik t: -0.433Schritt 3: Kritischer Wert
Freiheitsgrade: \(df = n - 1 = 49\). Für einen zweiseitigen Test mit \(\alpha = 0.05\) ist der kritische Wert \(t_{1-\alpha/2, 49} = t_{0.975, 49} \approx 2.010\) (aus t-Tabelle oder Software).
from scipy.stats import t as t_dist
alpha = 0.05
df = n - 1
t_critical = t_dist.ppf(1 - alpha/2, df)
print(f"Kritischer Wert t_krit: ±{t_critical:.3f}")Kritischer Wert t_krit: ±2.010Schritt 4: p-Wert
Der p-Wert für einen zweiseitigen Test ist: \(p = 2 \cdot P(T \geq |t|)\).
p_value = 2 * (1 - t_dist.cdf(abs(t_statistic), df))
print(f"p-Wert: {p_value:.3f}")p-Wert: 0.667Ergebnis: \(p \approx 0.667\).
Schritt 5: Entscheidung
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t as t_dist
# Gegebene Werte
x_bar = 10.47
s = 0.49
n = 50
mu_0 = 10.5
alpha = 0.05
# Berechnung der Teststatistik
standard_error = s / np.sqrt(n)
t_statistic = (x_bar - mu_0) / standard_error
df = n - 1 # Freiheitsgrade
# Kritischer Wert für zweiseitigen Test
t_critical = t_dist.ppf(1 - alpha/2, df)
# Daten für die t-Verteilung
x = np.linspace(-4, 4, 1000)
y = t_dist.pdf(x, df)
# Plot der t-Verteilung
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label=f't-Verteilung (df={df})', color='blue')
# Schattierte Ablehnungsbereiche
plt.fill_between(x, y, where=(x <= -t_critical), color='red', alpha=0.3, label='Ablehnungsbereich')
plt.fill_between(x, y, where=(x >= t_critical), color='red', alpha=0.3)
# Teststatistik markieren
plt.axvline(t_statistic, color='green', linestyle='--', label=f'Teststatistik t = {t_statistic:.3f}')
plt.axvline(-t_critical, color='black', linestyle=':', label=f'Kritischer Wert ±{t_critical:.3f}')
plt.axvline(t_critical, color='black', linestyle=':')
# Beschriftungen
plt.title('t-Test: Teststatistik und Ablehnungsbereich')
plt.xlabel('t-Wert')
plt.ylabel('Dichte')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
# Plot anzeigen
plt.show()
# Ausgabe der berechneten Werte
print(f"Standardfehler: {standard_error:.4f}")
print(f"Teststatistik t: {t_statistic:.3f}")
print(f"Kritischer Wert t_krit: ±{t_critical:.3f}")
Standardfehler: 0.0693
Teststatistik t: -0.433
Kritischer Wert t_krit: ±2.010Interpretation
Es gibt keinen statistischen Hinweis, dass der Eiweißgehalt der Gerstencharge signifikant von 10.5% abweicht. Die Charge liegt im optimalen Bereich, und die Brauerei kann sie verwenden, ohne Anpassungen vornehmen zu müssen.
Häufig ist man daran interessiert, ob sich die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben signifikant voneinander unterscheiden. Zum Beispiel könnten wir vergleichen, ob sich die mittlere Zugfestigkeit von Stählen zweier verschiedener Lieferanten unterscheidet. Auch hierfür kann ein t-Test eingesetzt werden (vgl. Abb. Figure 6.4).
Voraussetzungen:
Hypothesen (Standardfall: Test auf Gleichheit der Mittelwerte):
Teststatistik (bei gleichen Varianzen):
Die gepoolte Varianz ist eine gewichtete Mittelung der beiden Stichprobenvarianzen, wobei die Gewichte den Freiheitsgraden der Stichproben entsprechen.
Schritt 1: Definition der Stichprobenvarianz
Für Stichprobe 1:
\[ s_1^2 = \frac{1}{n_1 - 1} \sum_{i=1}^{n_1} (x_{1i} - \bar{x}_1)^2 \]
Für Stichprobe 2:
\[ s_2^2 = \frac{1}{n_2 - 1} \sum_{i=1}^{n_2} (x_{2i} - \bar{x}_2)^2 \]
Schritt 2: Umstellen
Multiplizieren mit den Freiheitsgraden:
\[ (n_1 - 1) s_1^2 = \sum_{i=1}^{n_1} (x_{1i} - \bar{x}_1)^2 \]
\[ (n_2 - 1) s_2^2 = \sum_{i=1}^{n_2} (x_{2i} - \bar{x}_2)^2 \]
Schritt 3: Gesamtstreuung kombinieren
Die Gesamtquadratsumme (Summe der quadrierten Abweichungen innerhalb beider Gruppen):
\[ SS_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n_1} (x_{1i} - \bar{x}_1)^2 + \sum_{i=1}^{n_2} (x_{2i} - \bar{x}_2)^2 = (n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2 \]
Schritt 4: Pooled Variance als Mittelwert
Die gepoolte Varianz ist diese Gesamtstreuung, geteilt durch die Gesamtanzahl der Freiheitsgrade:
\[ s_p^2 = \frac{SS_{\text{total}}}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{(n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]
Freiheitsgrade und Entscheidung:
Test auf eine spezifische Differenz der Erwartungswerte
Statt auf Gleichheit der Mittelwerte (\(\mu_1 - \mu_2 = 0\)) zu testen, könnte man auch prüfen, ob sich die Mittelwerte um einen bestimmten Betrag \(\omega_0\) unterscheiden. Die Nullhypothese wäre dann \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = \omega_0\). Die Teststatistik \(t\) wird dann wie folgt berechnet: \[ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \omega_0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \] Die Freiheitsgrade der t-Verteilung bleiben \(n_1 + n_2 - 2\) (bei Varianzgleichheit).
In manchen Fällen sind die beiden Stichproben nicht unabhängig, sondern gepaart. Das klassische Beispiel ist eine Messung vor und nach einer Behandlung an denselben Untersuchungseinheiten (z.B. Patienten, Bauteilen). Hier interessiert uns nicht der Unterschied der Mittelwerte unabhängiger Gruppen, sondern der mittlere Unterschied innerhalb der Paare.
Beispiel: Ein Verfahren zum Härten eines metallischen Bauteils soll untersucht werden. Im Experiment wird der Härtegrad von \(n=10\) Bauteilen jeweils vor und nach der Behandlung gemessen.
Tabelle: Härtegrad in HR (Rockwell) vor und nach der Behandlung
| Bauteil | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vorher | 49.1 | 49.2 | 49.3 | 49.4 | 49.5 | 49.6 | 49.7 | 49.8 | 49.0 | 50.0 |
| Nachher | 50.2 | 50.3 | 50.3 | 50.2 | 50.7 | 50.7 | 50.8 | 50.9 | 51.0 | 51.1 |
| Differenz (Nachher - Vorher) | 1.1 | 1.1 | 1.0 | 0.8 | 1.2 | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 2.0 | 1.1 |
Vorgehen:
Hypothesen (Test auf signifikante Erhöhung):
Berechnungen:
import numpy as np
from scipy.stats import t as t_dist
vorher = np.array([49.1, 49.2, 49.3, 49.4, 49.5, 49.6, 49.7, 49.8, 49.0, 50.0])
nachher = np.array([50.2, 50.3, 50.3, 50.2, 50.7, 50.7, 50.8, 50.9, 51.0, 51.1])
d = nachher - vorher
print("Differenzen (d):", d)
d_bar = np.mean(d)
s_d = np.std(d, ddof=1) # Korrigierte Standardabweichung
n = len(d)
print(f'Mittlere Differenz (d̄): {d_bar:.3f}')
print(f'Standardabweichung der Differenzen (s_d): {s_d:.3f}')
print(f'Anzahl Paare (n): {n}')
# Teststatistik berechnen (H0: mu_d = 0)
mu_d0 = 0
t_stat_paired = (d_bar - mu_d0) / (s_d / np.sqrt(n))
print(f'Teststatistik (t): {t_stat_paired:.3f}')Differenzen (d): [1.1 1.1 1. 0.8 1.2 1.1 1.1 1.1 2. 1.1]
Mittlere Differenz (d̄): 1.160
Standardabweichung der Differenzen (s_d): 0.313
Anzahl Paare (n): 10
Teststatistik (t): 11.705Testdurchführung:
Voraussetzungen: Die Differenzen sollten annähernd normalverteilt sein (oder \(n\) groß genug). Die Messungen sind gepaart.
Hypothesen: \(H_0: \mu_d = 0\), \(H_1: \mu_d > 0\).
Signifikanzniveau: \(\alpha = 0.05\).
Teststatistik: \(t = \frac{\bar{d} - 0}{s_d / \sqrt{n}} \approx 11.58\).
Kritischer Wert: Für einen einseitigen Test mit \(\alpha = 0.05\) und \(df = n-1 = 10-1 = 9\) Freiheitsgraden ist \(t_{\text{krit}} = t_{0.95, 9}\).
df_paired = n - 1
alpha_paired = 0.05
t_crit_paired = t_dist.ppf(1 - alpha_paired, df_paired)
print(f'Freiheitsgrade (df): {df_paired}')
print(f'Kritischer Wert (t_krit) für α={alpha_paired} (einseitig): {t_crit_paired:.3f}')Freiheitsgrade (df): 9
Kritischer Wert (t_krit) für α=0.05 (einseitig): 1.833Der kritische Wert ist \(t_{\text{krit}} \approx 1.833\).
Entscheidung: Da \(t \approx 11.58 > 1.833 \approx t_{\text{krit}}\), lehnen wir \(H_0\) ab.
p_value_paired = 1 - t_dist.cdf(t_stat_paired, df_paired)
print(f'p-Wert (einseitig): {p_value_paired:.3e}')
if p_value_paired < alpha_paired:
print(f"Da p-Wert ({p_value_paired:.3e}) < α ({alpha_paired}), wird H₀ abgelehnt.")
else:
print(f"Da p-Wert ({p_value_paired:.3e}) >= α ({alpha_paired}), wird H₀ nicht abgelehnt.")p-Wert (einseitig): 4.760e-07
Da p-Wert (4.760e-07) < α (0.05), wird H₀ abgelehnt.Der p-Wert ist extrem klein ($p \approx 1.35 \times 10^{-6}$), was die Ablehnung von $H_0$ bestätigt.Der Chi-Quadrat-Test ist ein nicht-parametrischer Test, der Hypothesen über kategoriale Daten prüft, ohne Annahmen über die Verteilung der Grundgesamtheit zu machen. Er wird häufig als Anpassungstest (Goodness-of-Fit) verwendet, um zu testen, ob beobachtete Häufigkeiten in einer Stichprobe einer erwarteten Verteilung entsprechen.
Die Teststatistik misst die Abweichung zwischen beobachteten (\(O_i\)) und erwarteten (\(E_i\)) Häufigkeiten:
\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
Unter der Nullhypothese (\(H_0\)) folgt die Statistik einer Chi-Quadrat-Verteilung mit \(k-1\) Freiheitsgraden (\(k\) = Anzahl Kategorien). Ein hoher \(\chi^2\)-Wert spricht gegen \(H_0\).
Eine Brauerei prüft, ob die Qualitätsbewertungen einer neuen Biercharge („Hervorragend“, „Gut“, „Mangelhaft“) der erwarteten Verteilung entsprechen, die auf langjährigen Produktionsdaten basiert (erwartete Anteile: Hervorragend: 60%, Gut: 30%, Mangelhaft: 10%). Stichprobe: \(n=150\) Flaschen.
Beobachtete Häufigkeiten:
Erwartete Häufigkeiten:
Hypothesen:
Testdurchführung:
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
O = np.array([95, 45, 10])
E = np.array([90, 45, 15])
chi2_statistic = np.sum((O - E)**2 / E)
print(f"Chi-Quadrat Statistik: {chi2_statistic:.3f}")Chi-Quadrat Statistik: 1.944Ergebnis: \(\chi^2 \approx 1.667\).
Für \(df = 3-1 = 2\) und \(\alpha = 0.05\) ist \(\chi^2_{\text{krit}} \approx 5.991\).
df = len(O) - 1
alpha = 0.05
chi2_critical = chi2.ppf(1 - alpha, df)
print(f"Kritischer Wert: {chi2_critical:.3f}")Kritischer Wert: 5.991p_value = 1 - chi2.cdf(chi2_statistic, df)
print(f"p-Wert: {p_value:.3f}")p-Wert: 0.378Ergebnis: \(p \approx 0.435\).
Da \(\chi^2 \approx 1.667 < 5.991\) und \(p \approx 0.435 > 0.05\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.
Interpretation:
Es gibt keinen statistischen Hinweis, dass die Qualitätsverteilung der neuen Biercharge signifikant von der erwarteten Verteilung abweicht. Die Brauerei kann die Charge als qualitativ gleichwertig betrachten.
import matplotlib.pyplot as plt
# Chi-Quadrat-Verteilung
x = np.linspace(0, 10, 1000)
y = chi2.pdf(x, df)
# Plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label=f'Chi-Quadrat-Verteilung (df={df})', color='blue')
plt.fill_between(x, y, where=(x >= chi2_critical), color='red', alpha=0.3, label='Ablehnungsbereich')
plt.axvline(chi2_statistic, color='green', linestyle='--', label=f'Teststatistik = {chi2_statistic:.3f}')
plt.axvline(chi2_critical, color='black', linestyle=':', label=f'Kritischer Wert = {chi2_critical:.3f}')
# Beschriftungen
plt.title('Chi-Quadrat-Test: Teststatistik und Ablehnungsbereich')
plt.xlabel('Chi-Quadrat-Wert')
plt.ylabel('Dichte')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()
Der Chi-Quadrat-Test macht keine Annahmen über die Verteilung der zugrunde liegenden Daten (z. B. Normalverteilung), sondern arbeitet direkt mit Häufigkeiten. Dies macht ihn besonders geeignet für kategoriale Daten, bei denen parametrische Annahmen wie Normalität oder gleiche Varianzen nicht zutreffen.
Statistische Tests werden verwendet, um Hypothesen über eine Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe zu prüfen. Sie bestehen aus einer Nullhypothese (\(H_0\)), die den Status quo repräsentiert, und einer Alternativhypothese (\(H_1\)), die angenommen wird, wenn \(H_0\) abgelehnt wird. Tests helfen, zu unterscheiden, ob die Ergebnisse einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit übertragbar sind oder zufällig entstanden.
Weitere Details zu Testarten findest du in dieser Übersicht.
